Question

12．PA⊥矩形ABCD所在的平面，且AB=a，AD=b．問：在BC邊上是否存在一點E，使DE⊥平面PAE？若不存在，說明理由；若存在，求出恰有一點時E的位置．

Answer 1

分析 以A為原點，AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明．

解答 證明：以A為原點，AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，如圖．…（1分）
∵四邊形ABCD為矩形，且AD=b，AB=a，設BE=y（0＜y＜b），PA⊥平面ABCD，
E為線段BC的中點，
∴A（0，0，0），B（a，0，0），D（0，b，0），E（a，y，0），P（0，0，z）
$\overrightarrow{DE}$=（a，y-b，0），$\overrightarrow{AE}$=（a，y，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，Z），$\overrightarrow{PE}$=（a，y，-z），
∵PA⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，
∴PA⊥DE，
∴使DE⊥平面PAE，則DE⊥PE，即：$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{DE}$=a²+y（y-b）=0，整理可得：y²-by+a²=0，
∴△=b²-4a²≥0時，即b≥2a時，方程有解，y=$\frac{b±\sqrt{^{2}-4{a}^{2}}}{2}$，
故當b≥2a時，在BC邊上存在一點E，（此時，BE=$\frac{b±\sqrt{^{2}-4{a}^{2}}}{2}$），使DE⊥平面PAE．

點評 本題考查線線垂直，考查滿足條件的點的存在性的探索，考查學生分析解決問題的能力，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．屬于中檔題．