Question

17．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知C₁：ρ=2cosθ-4sinθ，C₂：ρsinθ-2ρcosθ+1=0．
（Ⅰ）將C₁的方程化為普通方程；
（Ⅱ）求曲線C₁與C₂兩交點之間的距離．

Answer 1

分析 （I）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可得出；
（II）由C₂：ρsinθ-2ρcosθ+1=0，化為2x-y-1=0．求出圓心C₁到直線的距離d．利用曲線C₁與C₂兩交點之間的距離=2$\sqrt{{r}^{2}-oaysgjh^{2}}$即可得出．

解答 解：（I）C₁：ρ=2cosθ-4sinθ，∴ρ²=2ρcosθ-4ρsinθ，∴x²+y²=2x-4y，配方為（x-1）²+（y+2）²=5，可得圓心C₁（1，-2），半徑r=$\sqrt{5}$．
（II）由C₂：ρsinθ-2ρcosθ+1=0，化為y-2x+1=0，即2x-y-1=0．
∴圓心C₁到直線的距離d=$\frac{|2-（-2）-1|}{\sqrt{{2}^{2}}+（-1）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∴曲線C₁與C₂兩交點之間的距離=2$\sqrt{{r}^{2}-kpustwu^{2}}$=2$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-（\frac{3\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、直線與圓的相交問題、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．