Question

4．已知（1+2x）ⁿ=$\sum_{k=0}^{n}$${C}_{n}^{k}$（2x）^k=$\sum_{k=0}^{n}$α_kx^h（n∈N₊），（1+2x）ⁿ的展開式中末三項的二項式系數(shù)的和為92，判斷展開式系數(shù)組成的數(shù)列a₀、a₁，…，a_n的單調(diào)性，并求其最大項．

Answer 1

分析 利用二項式系數(shù)為C_n^r，列出方程求出n值，利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，利用展開式中最大的系數(shù)大于它前面的系數(shù)同時大于它后面的系數(shù)求出展開式中系數(shù)最大的項．

解答 解：∵末三項的二項式系數(shù)分別為C_n^n-2，C_n^n-1，C_nⁿ
∴C_n^n-2+C_n^n-1+C_nⁿ=92
∴C_n²+C_n¹+C_n⁰=92即n²+n-182=0
∴n=13或n=-14（舍）
∴T_r+1=C₁₃^r（2x）^r=C₁₃^r2^rx^r
設(shè)第r+1項與第r項的系數(shù)分別為t_r+1，t_r
令t_r+1=C₁₃^r2^r，t_r=C₁₃^r-12^r-1
∴t_r+1≥t_r則可解得r≤8
∴當(dāng)r取小于8的自然數(shù)時，都有t_r＜t_r+1當(dāng)13≥r≥9時，t_r+1＜t_r
即展開式系數(shù)組成的數(shù)列a₀、a₁，…，a_n的單調(diào)性先單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減，
展開式中系數(shù)最大的項為T₈=C₁₃⁷2⁷x⁷

點評 本題考查二項展開式中的系數(shù)最大的項的求法：利用最大的系數(shù)大于它前面的系數(shù)同時大于它后面的系數(shù)來求．