Question

3．某地區(qū)2007年至2013年農村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代號t	1	2	3	4	5	6	7
人均純收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（Ⅰ）求y關于t的線性回歸方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2017年農村居民家庭人均純收入．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{t}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，計算$\overline{t}$、$\overline{y}$與$\sum_{i=1}^{7}$${{（t}_{i}-\overline{t}）}^{2}$和$\sum_{i=1}^{7}$（t_i-$\overline{t}$）（y_i-$\overline{y}$）的值，
利用公式求出$\stackrel{∧}$與$\widehat{a}$的值，寫出線性回歸方程；
（Ⅱ）根據(jù)線性回歸方程中$\stackrel{∧}$=0.5＞0，得出結論是人均純收入逐年增加以及平均每年增加的值，
將2017年的年份t的值代人線性回歸方程，求出$\stackrel{∧}{y}$的值，即可預測該地區(qū)2017年的農村家庭人均純收入．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，得；
$\overline{t}$=$\frac{1}{7}$（1+2+3+4+5+6+7）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
$\sum_{i=1}^{7}$${{（t}_{i}-\overline{t}）}^{2}$=9+4+1+0+1+4+9=28，
$\sum_{i=1}^{7}$（t_i-$\overline{t}$）（y_i-$\overline{y}$）=（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+0×0.1+0.5+2×0.9+3×1.6=14；
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{14}{28}$=0.5，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{t}$=4.3-0.5×4=2.3，
y關于t的線性回歸方程是$\stackrel{∧}{y}$=0.5t+2.3；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中的線性回歸方程，$\stackrel{∧}$=0.5＞0，
得出2007年至2013年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，
將2017年的年份t=11代人線性回歸方程，得$\stackrel{∧}{y}$=0.5×11+2.3=7.8，
預測該地區(qū)2017年農村居民家庭人均純收入為7.8千元．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，也考查了計算能力的應用問題，是基礎題目．