Question

2．定義：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，a∈A，b∈B，若a是b的函數(shù)且b也是a的函數(shù)，則稱a與b是“和諧關(guān)系”．如等式b=a²，a∈[0，+∞）中a與b是“和諧關(guān)系”，則下列等中a與b是“和諧關(guān)系”的是（　�。�

• A． $b=\frac{sina}{a}，a∈（0，\frac{π}{2}）$
• B． $b={a^3}+\frac{5}{2}{a^2}+2a+1，a∈（-2，-\frac{2}{3}）$
• C． （a-2）²+b²=1，a∈[1，2]
• D． |a|+|b|=1，a∈[-1，1]

Answer 1

分析 只要判斷所給出的函數(shù)單調(diào)即可．

解答 解：A．∵$a∈（0，\frac{π}{2}）$，則a＞sina，∴b′=$\frac{acosa-sina}{{a}^{2}}$=$\frac{cosa（a-sina）}{{a}^{2}}$＞0，因此函數(shù)b在$a∈（0，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞增，正確；
B．∵a∈$（-2，-\frac{2}{3}）$，b′=3a²+5a+2=（3a+2）（a+1），∴a∈（-2，-1）時(shí)單調(diào)遞增；a∈（-1，-$\frac{2}{3}$）時(shí)單調(diào)遞減，因此不符合題意；
C．∵（a-2）²+b²=1，a∈[1，2]，∴b=±$\sqrt{1-（a-2）^{2}}$，b不是a的函數(shù)，舍去；
D．∵|a|+|b|=1，a∈[-1，1]，∴b=±（1-|a|），b不是a的函數(shù)，舍去．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、新定義“和諧函數(shù)”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．