Question

1．已知sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosβ=$-\frac{1}{3}$，且tanα•tanβ＞0，則cos（α-β）的值是（　　）

• A． -$\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$
• B． -$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$
• C． $\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$
• D． ±$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得cosα=±$\frac{1}{2}$，sinβ=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，結(jié)合tanα•tanβ=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}sinβ}{-\frac{1}{3}cosα}$＞0，分類討論，利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．

解答 解：∵sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosβ=$-\frac{1}{3}$，
∴cosα=±$\frac{1}{2}$，sinβ=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵tanα•tanβ=$\frac{sinαsinβ}{cosαcosβ}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}sinβ}{-\frac{1}{3}cosα}$＞0，
∴當(dāng)cosα=$\frac{1}{2}$時(shí)，sinβ=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{1}{2}×（-\frac{1}{3}）$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\frac{2\sqrt{2}}{3}）$=-$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$，
當(dāng)cosα=-$\frac{1}{2}$時(shí)，sinβ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-$\frac{1}{2}×（-\frac{1}{3}）$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的余弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．