分析 (Ⅰ)解不等式$\frac{1-x}{x+1}>0$即可得出該函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)可先判斷定義域關(guān)于原點對稱,然后求f(-x),便可得到f(-x)=-f(x),從而得出f(x)為奇函數(shù);
(Ⅲ)討論a:0<a<1,和a>1,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,在每種情況下會得到一個關(guān)于x的不等式,解不等式即可得出x的范圍,即得出原不等式的解集.
解答 解:(Ⅰ)解$\frac{1-x}{x+1}>0$,得-1<x<1;
∴函數(shù)的定義域為(-1,1);
(Ⅱ)∵函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱;
且$f(-x)=lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}=lo{g}_{a}(\frac{1-x}{1+x})^{-1}=-lo{g}_{a}\frac{1-x}{1+x}=-f(x)$;
∴f(x)為奇函數(shù);
(Ⅲ)∵f(x)>0,①當(dāng)0<a<1時,$0<\frac{1-x}{1+x}<1$;
解得0<x<1;
②當(dāng)a>1時,$\frac{1-x}{1+x}>1$;
∴-1<x<0.
點評 考查函數(shù)定義域的概念及求法,對數(shù)的真數(shù)大于0,以及函數(shù)奇偶性的定義,分式不等式的解法,對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.
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A. | $\frac{8}{17}$ | B. | $\frac{15\sqrt{3}+8}{34}$ | C. | $\frac{15-8\sqrt{3}}{34}$ | D. | $\frac{15+8\sqrt{3}}{34}$ |
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\sqrt{3}$ | C. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D. | $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$ |
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