Question

9．若圓（x-1）²+y²=r²（r＞0）與曲線x（y-1）=1沒有公共點(diǎn)，則半徑r的取值范圍是（　�。�

• A． 0＜r＜$\sqrt{2}$
• B． 0＜r＜$\frac{{\sqrt{11}}}{2}$
• C． 0＜r＜$\sqrt{3}$
• D． 0＜r＜$\frac{{\sqrt{13}}}{2}$

Answer 1

分析 欲求半徑r的取值范圍，只需求出圓心（1，0）到曲線x=$\frac{1}{y-1}$上的點(diǎn)的最短距離，取曲線上的點(diǎn)（$\frac{1}{a-1}$，a），a≠1，求出圓心（1，0）到曲線x=$\frac{1}{y-1}$上的點(diǎn)的最短距離為$\sqrt{3}$，由此能求出若圓（x-1）²+y²=r²（r＞0）與曲線x（y-1）=1的沒有公共點(diǎn)，則半徑r的取值范圍．

解答 解：∵圓（x-1）²+y²=r²（r＞0）的圓心（1，0），半徑r，
圓（x-1）²+y²=r²（r＞0）與曲線x（y-1）=1沒有公共點(diǎn)
∴欲求半徑r的取值范圍，只需求出圓心（1，0）到曲線x=$\frac{1}{y-1}$上的點(diǎn)的最短距離，
取曲線上的點(diǎn)（$\frac{1}{a-1}$，a），a≠1，
d=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{a-1}-1）^{2}}$
=$\sqrt{（a-1）^{2}+2（a-1）+\frac{1}{（a-1）^{2}}-\frac{2}{a-1}+2}$
=$\sqrt{（a-1-\frac{1}{a-1}）^{2}+2（a-1-\frac{1}{a-1}）+4}$
=$\sqrt{（a-1-\frac{1}{a-1}+1）^{2}+3}$$≥\sqrt{3}$，
∴若圓（x-1）²+y²=r²（r＞0）與曲線x（y-1）=1的沒有公共點(diǎn)，則半徑r的取值范圍是（0，$\sqrt{3}$）．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查圓的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．