Question

19．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n滿足${S}_{n}^{2}$-（n²+n-3）S_n-3（n²+n）=0，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）本題可以用n=1代入題中條件，利用S₁=a₁求出a₁的值；
（2）把已知遞推式因式分解，求出S_n，由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得答案．

解答 解：（1）由${S}_{n}^{2}$-（n²+n-3）S_n-3（n²+n）=0，得
${{a}_{1}}^{2}-（{1}^{2}+1-3）{a}_{1}-3（{1}^{2}+1）=0$，即${{a}_{1}}^{2}+{a}_{1}-6=0$，
解得：a₁=-3（舍）或a₁=2；
（2）由${S}_{n}^{2}$-（n²+n-3）S_n-3（n²+n）=0，
得（S_n+3）（${S}_{n}-{n}^{2}-n$）=0，
即${S}_{n}={n}^{2}+n$．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={n}^{2}+n-（n-1）^{2}-（n-1）=2n$．
驗(yàn)證n=1時(shí)上式成立，
∴a_n=2n．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的遞推式，考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，對于（2）的求解，正確因式分解是關(guān)鍵，是中檔題．