Question

6．給出下列五個(gè)結(jié)論：
①在△ABC中，若sinA＞sinB，則必有cosA＜cosB；
②在△ABC中，若a，b，c成等比數(shù)列，則角B的取值范圍為$（{0，\frac{π}{3}}]$；
③等比數(shù)列{a_n}中，若a₃=2，a₇=8，則a₅=±4；
④等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₁₀＜0且S₁₁=0，滿足S_n≥S_k對(duì)n∈N^*恒成立，則正整數(shù)k構(gòu)成集合為{5，6}
⑤若關(guān)于x的不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集為R，則a的取值范圍為$（{-\frac{3}{5}，1}）$．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②④．（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

分析 ①根據(jù)正弦定理，大邊對(duì)大角可得A＞B，根據(jù)余弦的圖象可得命題正確；
②根據(jù)已知得b²=ac，由余弦定理可得cosB≥$\frac{1}{2}$，可解得B的范圍，命題正確；
③由$\left\{\begin{array}{l}{2={a}_{1}{q}^{2}}\\{8={a}_{2}{q}^{6}}\end{array}\right.$，解得a₁，q²，可得a₅，不正確；
④由$\left\{\begin{array}{l}{10{a}_{1}+45d＜0}\\{11{a}_{1}+55d=0}\end{array}\right.$，即可得d＞0，a₆=a₁+5d=0，可得a₁到a₅都是負(fù)數(shù)，a₆是0，以后各項(xiàng)全是正數(shù)．要S_n≥S_k對(duì)n∈N⁺恒成立，可解得k=5，或k=6可證命題正確；
⑤首先題目由不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，考慮轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=（a²-1）x²-（a-1）x-1．對(duì)任意的x，函數(shù)值小于零的問(wèn)題．再分類(lèi)討論a=1或a≠1的情況即可解出答案．

解答 解：①在△abc中，sinA＞sinB，根據(jù)正弦定理，根據(jù)大邊對(duì)大角可得A＞B，根據(jù)余弦的圖象，可得cosA＜cosB，所以正確；
②根據(jù)已知得：b²=ac，由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，可得B∈$（{0，\frac{π}{3}}]$，所以正確；
③由$\left\{\begin{array}{l}{2={a}_{1}{q}^{2}}\\{8={a}_{2}{q}^{6}}\end{array}\right.$，解得a₁=1，q²=2，可得：a₅=${a}_{1}{q}^{4}$=4，所以不正確；
④解：∵S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₁₀＜0，且S₁₁=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10{a}_{1}+45d＜0}\\{11{a}_{1}+55d=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+5d=0}\\{{a}_{1}+\frac{9}{2}d＜0}\end{array}\right.$④，
∴d＞0，a₆=a₁+5d=0，
∴a₁到a₅都是負(fù)數(shù)，a₆是0，以后各項(xiàng)全是正數(shù)．
∵S_n≥S_k對(duì)n∈N⁺恒成立，∴k=5，或k=6．
∴正整數(shù)k構(gòu)成的集合為{5，6}．故正確；
⑤解：設(shè)函數(shù)f（x）=（a²-1）x²-（a-1）x-1．由題設(shè)條件關(guān)于x的不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集為R．
可得對(duì)任意的x屬于R．都有f（x）＜0．
又當(dāng)a≠1時(shí)，函數(shù)f（x）是關(guān)于x的拋物線．故拋物線必開(kāi)口向下，且于x軸無(wú)交點(diǎn)．
故滿足$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＜0}\\{△=（a-1）^{2}+4（{a}^{2}-1）＜0}\end{array}\right.$
故解得-$\frac{3}{5}$＜x＜1．
當(dāng)a=1時(shí)．f（x）=-1．成立．
綜上，a的取值范圍為（-$\frac{3}{5}$，1]．
故不正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的應(yīng)用，考查了函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題，其中應(yīng)用到函數(shù)在不同區(qū)間的值域，對(duì)于拋物線值域問(wèn)題一直是高考重點(diǎn)題型，多以選擇填空的形式出現(xiàn)，同學(xué)們要注意掌握，本題綜合性強(qiáng)，考查知識(shí)點(diǎn)多，屬于難題．