Question

15．在△ABC中，bcosC+ccosB=acosC+ccosA=2，且acosC+$\sqrt{3}$asinC=b+c，則△ABC的面積為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由余弦定理結(jié)合已知可得a=b=2，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理化簡等式acosC+$\sqrt{3}$asinC=b+c，
可得sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍A∈（0，$\frac{π}{2}$），可求A=B=C=$\frac{π}{3}$，利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：∵bcosC+ccosB=acosC+ccosA=2，
∴在△ABC中，由余弦定理可得：b$•\frac{^{2}+{a}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+c$•\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=a$•\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+c$•\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=2，
∴整理解得：a=b=2，A，B為銳角，
∵acosC+$\sqrt{3}$asinC=b+c，
∴利用正弦定理可得：sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，
∴$\sqrt{3}$sinAsinC=cosAsinC+sinC，
∴$\sqrt{3}$sinA=cosA+1（sinC≠0），可得：2sin（A-$\frac{π}{6}$）=1，可得sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，$\frac{π}{2}$），A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），
∴A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，可得：A=B=$\frac{π}{3}$，可得：C=π-A-B=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，三角形面積公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．