Question

3．已知（x+$\frac{1}{2}}$）ⁿ的展開(kāi)式中前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)（x+$\frac{1}{2}}$）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ
（1）求a₀的值
（2）求最大的二項(xiàng)式系數(shù)
（3）求系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）（x+$\frac{1}{2}}$）ⁿ的展開(kāi)式中前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，可得：2${∁}_{n}^{1}×\frac{1}{2}$=1+${∁}_{n}^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}$，解得n=8，由（x+$\frac{1}{2}}$）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，令x=0，可得：a₀．
（2）由二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性可得：${∁}_{8}^{4}$最大．
（3）$（x+\frac{1}{2}）^{8}$的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：T_r+1=${∁}_{8}^{r}{x}^{8-r}×（\frac{1}{2}）^{r}$=$（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}$x^8-r，由$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}≥（\frac{1}{2}）^{r-1}{∁}_{8}^{r-1}}\\{（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}≥（\frac{1}{2}）^{r+1}{∁}_{8}^{r+1}}\end{array}\right.$，解得r即可得出．

解答 解：（1）（x+$\frac{1}{2}}$）ⁿ的展開(kāi)式中前3項(xiàng)的系數(shù)分別為：1，${∁}_{n}^{1}×\frac{1}{2}$，${∁}_{n}^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}$，
由于它們成等差數(shù)列，∴2${∁}_{n}^{1}×\frac{1}{2}$=1+${∁}_{n}^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}$，化為n²-9n+8=0，
解得n=8或n=1（舍去），
由（x+$\frac{1}{2}}$）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
令x=0，可得：a₀=$（\frac{1}{2}）^{8}$=$\frac{1}{256}$．
（2）由二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性可得：${∁}_{8}^{4}$最大，可得：$C_8^4=70$．
（3）$（x+\frac{1}{2}）^{8}$的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：T_r+1=${∁}_{8}^{r}{x}^{8-r}×（\frac{1}{2}）^{r}$=$（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}$x^8-r，
由$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}≥（\frac{1}{2}）^{r-1}{∁}_{8}^{r-1}}\\{（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}≥（\frac{1}{2}）^{r+1}{∁}_{8}^{r+1}}\end{array}\right.$，解得2≤r≤3，
∴r=2或3．
∴系數(shù)最大的項(xiàng)是：7x⁵或7x⁶．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、不等式的解法、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．