Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n-1=a_n-a_n-1（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=（n+1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）求得n=2，3，4時(shí)，a₁，a₂，a₃的值，再將n換為n-1，兩式相減，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求通項(xiàng)；
（2）求得b_n=（n+1）a_n=（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）n=2時(shí)，S₂-1=a₂-a₁，
即為a₁+a₂-1=a₂-a₁，解得a₁=$\frac{1}{2}$；
n=3時(shí)，S₃-1=a₃-a₂，
即為a₁+a₂+a₃-1=a₃-a₂，解得a₂=$\frac{1}{4}$；
n=4時(shí)，S₄-1=a₄-a₃，
即為a₁+a₂+a₃+a₄-1=a₄-a₃，解得a₃=$\frac{1}{8}$．
S_n-1=a_n-a_n-1（n≥2），
可得S_n-1-1=a_n-1-a_n-2（n≥3）．
兩式相減，可得a_n=（a_n-a_n-1）-（a_n-1-a_n-2），
即有a_n-1=$\frac{1}{2}$a_n-2，
則a_n=a₃•（$\frac{1}{2}$）^n-3=$\frac{1}{8}$•（$\frac{1}{2}$）^n-3=（$\frac{1}{2}$）ⁿ；
上式對(duì)n=1，2仍然成立．
則a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N^*；
（2）b_n=（n+1）a_n=（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
前n項(xiàng)和T_n=2•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{4}$+4•$\frac{1}{8}$+…+（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=2•$\frac{1}{4}$+3•$\frac{1}{8}$+4•$\frac{1}{16}$+…+（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=1+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化簡(jiǎn)可得，前n項(xiàng)和T_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，屬于中檔題．