Question

20．設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為$\overline{z}$，且4z+2$\overline{z}$=3$\sqrt{3}$+i，ω=sinθ-icosθ，復(fù)數(shù)z-ω對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的向量為$\overrightarrow{OM}$，求復(fù)數(shù)z和|$\overrightarrow{OM}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)出復(fù)數(shù)z的形式，由題意和復(fù)數(shù)相等可得方程組，解方程組可得z，再由模長公式和三角函數(shù)可得．

解答 解：設(shè)z=a+bi，a，b∈R，則$\overline{z}$=a-bi，
代入且4z+2$\overline{z}$=3$\sqrt{3}$+i可得4a+4bi+2a-2bi=3$\sqrt{3}$+i，
化簡可得6a+2bi=3$\sqrt{3}$+i，
由復(fù)數(shù)相等可得6a=3$\sqrt{3}$，2b=1，
解得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，∴z=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$i，
∴|$\overrightarrow{OM}$|=|z-ω|=|（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-sinθ）+（$\frac{1}{2}$+cosθ）i|
=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}-sinθ）^{2}+（\frac{1}{2}+cosθ）^{2}}$
=$\sqrt{2-\sqrt{3}sinθ+cosθ}$
=$\sqrt{2-2sin（θ-\frac{π}{6}）}$，
∵-1≤sin（$θ-\frac{π}{6}$）≤1，
∴0≤2-2sin（$θ-\frac{π}{6}$）≤4，
∴0≤|$\overrightarrow{OM}$|≤2

點(diǎn)評 本題考查復(fù)數(shù)相等和模長，涉及三角函數(shù)公式和三角函數(shù)的值域，屬中檔題．