Question

10．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（0，2）的直線l與圓O：x²+y²=1交于兩點(diǎn)A，B．
（1）求直線l的斜率k的取值范圍；
（2）若Q（0，1）且AQ∥OB，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用圓心到直線的距離d＜r，即可求直線l的斜率k的取值范圍；
（2）若Q（0，1）且AQ∥OB，A是PB的中點(diǎn)，求出A，B的坐標(biāo)即可求直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)直線l：y=kx+2，即kx-y+2=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，
∴k＜-1或k＞1；
（2）由題意，A是PB的中點(diǎn)，
設(shè)B（2a，2b），則A（a，b+1），
代入圓的方程可得4a²+4b²=1，a²+（b+1）²=1，
解得a=±$\frac{\sqrt{15}}{8}$，b=-$\frac{1}{8}$，
∴直線l的方程為y+$\frac{1}{4}$=$\frac{\frac{7}{8}+\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{8}-\frac{\sqrt{15}}{4}}$（x-$\frac{\sqrt{15}}{4}$）或y+$\frac{1}{4}$=-$\frac{\frac{7}{8}+\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{8}-\frac{\sqrt{15}}{4}}$（x+$\frac{\sqrt{15}}{4}$），即y=-$\frac{3}{5}\sqrt{15}$x+2或y=$\frac{3}{5}\sqrt{15}$x+2.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．