Question

4．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₃=3，S₃=9
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂$\frac{3}{a_{2n+3}}$，且{b_n}為遞增數(shù)列，若c_n=$\frac{4}{b_n•b_{n+1}}$，求證：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，從而解得；
（Ⅱ）討論可知a_2n+3=3•（-$\frac{1}{2}$）²ⁿ=3•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ，從而可得b_n=log₂$\frac{3}{a_{2n+3}}$=2n，利用裂項(xiàng)求和法求和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
①當(dāng)q=1時(shí)，符合條件a₁=a₃=3，a_n=3．
②當(dāng)q≠1時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=3}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=9}\end{array}$，所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=3}\\{{a}_{1}（1+q+{q}^{2}）=9}\end{array}$
解得a₁=12，q=-$\frac{1}{2}$，
所以a_n=12×（-$\frac{1}{2}$）^n-1．
綜上所述：數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3（q=1）或a_n=12×（-$\frac{1}{2}$）^n-1．
（Ⅱ）證明：若a_n=3，則b_n=0，與題意不符；
故a_2n+3=3•（-$\frac{1}{2}$）²ⁿ=3•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ，
故b_n=log₂$\frac{3}{a_{2n+3}}$=2n，
故c_n=$\frac{4}{b_n•b_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故c₁+c₂+c₃+…+c_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了方程的思想應(yīng)用及裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．