Question

17．如圖，已知在△ABC中，AC的中點(diǎn)為E，AB的中點(diǎn)為F，延長(zhǎng)BE至P，使BE=EP，延長(zhǎng)CF至Q，使CF=FQ．試用向量方法證明P，A，Q三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，證明△AEP≌△CEB，得出∠EAP=∠ACB，從而證明AP∥BC且AP=BC，得出$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{BC}$；
同理證明$\overrightarrow{AQ}$=-$\overrightarrow{BC}$，即證向量$\overrightarrow{AQ}$與$\overrightarrow{AP}$共線，從而證明P，A，Q三點(diǎn)共線．

解答 證明：由題意可得AE=EC，BE=EP，∠AEP=∠BEC，
∴△AEP≌△CEB，∴∠EAP=∠ACB，∴AP∥BC且AP=BC，
即$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{BC}$；
同理△AFQ≌△BFC，∴∠FAQ=∠ABC，
∴AQ∥BC且AQ=BC，即$\overrightarrow{AQ}$=-$\overrightarrow{BC}$；
∴$\overrightarrow{AQ}$=-$\overrightarrow{AP}$，即向量$\overrightarrow{AQ}$與$\overrightarrow{AP}$共線，
又$\overrightarrow{AQ}$與$\overrightarrow{AP}$有公共點(diǎn)A，即P，A，Q三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用向量法證明三點(diǎn)共線的應(yīng)用問(wèn)題，涉及了三角形全等與直線平行的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．