12．{an}為正項數(shù)列，a1=2，an+1=an+2$\sqrt{{a}_{n}}$+1，求an的通項公式．

分析 根據(jù)數(shù)列遞推式，變形可得數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以$\sqrt{2}$為首項，以1為公差的等差數(shù)列，由此可得結論．

解答 解：：an+1=an+2$\sqrt{{a}_{n}}$+1，
∴an+1=（$\sqrt{{a}_{n}}$+1）2，
∵{an}為正項數(shù)列，
∴$\sqrt{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{{a}_{n}}$+1，
∴$\sqrt{{a}_{n+1}}$-$\sqrt{{a}_{n}}$=1，
∵a1=2，
∴$\sqrt{{a}_{1}}$=$\sqrt{2}$，
∴{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以$\sqrt{2}$為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{2}$+（n-1），
∴an=（n-1）2+2+2$\sqrt{2}$（n-1）．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的判定，考查學生的計算能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b2=4，{an}為等差數(shù)列，且a1b1+a2b2+…anbn=2+（n-1）2n+1
（1）求an與bn；
（2）記數(shù)列{$\frac{{2}^{{a}_{n}}}{（_{n}+1）（_{n+1}+1）}$}的前n和為Tn，求滿足Tn≤$\frac{39}{120}$的最大n．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

3．已知tanαcosα＞0且cotαsinα＜0，則α是（　�。�
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

20．f（x）=xcosx-5sinx+2，若f（2）=7，則f（-2）的值為（　　）
A．-7B．9C．-5D．-3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

7．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，則f（-$\frac{π}{2}$）=（　　）
A．$\sqrt{3}$B．-$\sqrt{3}$C．1D．-1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

17．如圖，已知在△ABC中，AC的中點為E，AB的中點為F，延長BE至P，使BE=EP，延長CF至Q，使CF=FQ．試用向量方法證明P，A，Q三點共線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

4．設向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$$+\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=4，則$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=（　�。�
A．4B．2$\sqrt{2}$C．2D．$\sqrt{2}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

1．若函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{3}{x}$-ax在（0，+∞）上遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，2$\sqrt{3}$]．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

2．函數(shù)f（x）=sin2x+2$\sqrt{3}$cos2x-$\sqrt{3}$，g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}$）-2m+3（m＞0），若對任意x1∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x2∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x1）=f（x2）成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A．（1，$\frac{4}{3}$）B．（$\frac{2}{3}$，1]C．[$\frac{2}{3}$，1]D．[1，$\frac{4}{3}$]

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