Question

8．設(shè)點O在△ABC內(nèi)部，且有$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則△BOC、△AOC和△AOB這三個三角形的面積比為1：2：3．

Answer 1

分析 根據(jù)向量線性運算的幾何意義作出平行四邊形，利用相似三角形得出各個小三角形與△ABC的面積比．

解答 解：延長OB至E，使得$\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{OB}$，以O(shè)A，OE為鄰邊作平行四邊形OEFA，
則$\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$，
∵$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}=-3\overrightarrow{OC}$．
∴OF=3OC．
∵△OBD∽△FAD，∴$\frac{OD}{DF}=\frac{OB}{AF}=\frac{1}{2}$，
∴OF=3OD．
∴OD=OC，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
同理可得：S_△BOC=$\frac{1}{6}$S_△ABC．S_△AOC=$\frac{1}{3}$S_△ABC．
∴S_△BOC：S_△AOC：S_△AOB=$\frac{1}{6}：\frac{1}{3}：\frac{1}{2}$=1：2：3．

點評 本題考查了平面向量的線性運算的幾何意義，屬于中檔題．