2.若an=3an-1+3n-1,n≥2,n∈N+,a1=5,若{$\frac{{a}_{n}+t}{{3}^{n}}$}是公差為1的等差數(shù)列,則t=$-\frac{1}{2}$.

分析 把已知數(shù)列遞推式變形,然后利用累加法求得數(shù)列通項公式,結(jié)合{$\frac{{a}_{n}+t}{{3}^{n}}$}是公差為1的等差數(shù)列列式求得t值.

解答 解:由an=3an-1+3n-1,得$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}+1-\frac{1}{{3}^{n}}$,
即$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}=1-\frac{1}{{3}^{n}}$(n≥2),
∴$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}-\frac{{a}_{1}}{3}=1-\frac{1}{{3}^{2}}$,
$\frac{{a}_{3}}{{3}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}=1-\frac{1}{{3}^{3}}$,

$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}=1-\frac{1}{{3}^{n}}$(n≥2),
累加得:$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{{a}_{1}}{3}+(n-1)-\frac{\frac{1}{9}(1-\frac{1}{{3}^{n-1}})}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{5}{3}+n-1-\frac{1}{6}+\frac{1}{2•{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}+n+\frac{1}{2•{3}^{n}}$,
∴${a}_{n}=\frac{2n+1}{2}•{3}^{n}+\frac{1}{2}$(n≥2).
驗證n=1時上式成立,
∴${a}_{n}=\frac{2n+1}{2}•{3}^{n}+\frac{1}{2}$.
由{$\frac{{a}_{n}+t}{{3}^{n}}$}是公差為1的等差數(shù)列,得:
$\frac{{a}_{2}+t}{9}-\frac{{a}_{1}+t}{3}=\frac{23+t}{9}-\frac{5+t}{3}=1$,解得:$t=-\frac{1}{2}$.
故答案為:$-\frac{1}{2}$.

點評 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等差關(guān)系的確定,訓練了累加法求數(shù)列的通項公式,是中檔題.

練習冊系列答案
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(1)計算:a1,a2,a3;
(2)證明:數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并求其通項公式an;
(3)對任意正整數(shù)n均有不等式$\frac{{S}_{{a}_{n}}+{S}_{{a}_{n+1}}}{2}$≥λ${S}_{\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}}$恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍.

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(1)y=(x3+1)3;
(2)y=ex+sinx;
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(4)y=2x;
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12.“a=0”是“函數(shù)f(x)=sinx-$\frac{1}{x}$+a為奇函數(shù)”的( 。
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件

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