Question

13．在△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，BC=3，求AC+AB的取值范圍．

Answer 1

分析 由已知和正弦定理可得AC+AB=2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sinC，由和差角的三角函數(shù)公式和三角函數(shù)值域可得．

解答 解：∵在△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，BC=3，
∴由正弦定理可得$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{3}{sin\frac{π}{3}}$=2$\sqrt{3}$=$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{AB}{sinC}$，
∴AC+AB=2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sinC=2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-B）
=2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）
=3$\sqrt{3}$sinB+3cosB=6（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1}{2}$cosB）
=6sin（B+$\frac{π}{6}$），∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，∴$\frac{1}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴3＜6sin（B+$\frac{π}{6}$）≤6，
∴AC+AB的取值范圍為（3，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理解三角形，涉及和差角的三角函數(shù)公式和三角函數(shù)的值域，屬中檔題．