Question

5．分析下列四個(gè)命題：
①若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=3，則a，b，c中至少有一個(gè)不小于1；
②若z為復(fù)數(shù)，且|z|=1，則|z-i|的最大值等于2；
③任意x∈（0，+∞）都有x＞sinx；
④若f（x）是奇函數(shù)，則∫${\;}_{-a}^{a}$f（x）dx=2∫${\;}_{0}^{a}$f（x）dx．
其中，正確命題的序號(hào)是①②③．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 ①可運(yùn)用反證法，即可判斷；
②運(yùn)用|z-i|≤|z|+|-i|=2，即可得到最大值；
③運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性可證；
④根據(jù)定積分的幾何意義進(jìn)行判斷．

解答 解：①則用反證法，假設(shè)a，b，c都不小于1，a≥1，b≥1，c≥1，則a+b+c≥3，與a+b+c＜3，矛盾，故可得a，b，c中至少有一個(gè)不小于1，故①正確；
②若z為復(fù)數(shù)，且|z|=1，則由|z-i|≤|z|+|-i|=2，可得|z-i|的最大值等于2，故②正確；
③任意x∈（0，+∞），根據(jù)（x-sinx）′=1-cosx≥0，可得y=x-sinx在R上為增函數(shù)，
當(dāng)x=0時(shí)，y=x-sinx=0，可得任意x∈（0，+∞），都有x-sinx＞0，即x＞sinx，故③正確．
④f（x）是奇函數(shù)，∴其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∵定積分的幾何意義是函數(shù)圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積的代數(shù)和，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-a，a]上的圖象必定關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
∴函數(shù)圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積的代數(shù)和為0，
∴∫${\;}_{-a}^{a}$f（x）dx=0，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，復(fù)數(shù)的幾何意義，及定積分的幾何意義，屬于中檔題．