Question

18．隨著杜會(huì)的發(fā)展，大多數(shù)家庭的經(jīng)濟(jì)狀況不斷提高，可是膏少年的身體健康指標(biāo)卻每況愈下，該觀象備受杜會(huì)人士的關(guān)注，某一網(wǎng)站線上調(diào)查結(jié)果顯示，青少年身體健康不達(dá)標(biāo)的主要原因有以下三項(xiàng)：“飲食不規(guī)律造成營(yíng)養(yǎng)不均衡”，“學(xué)業(yè)任務(wù)繁重”，“缺乏鍛煉”，據(jù)統(tǒng)計(jì)，60名學(xué)生參加調(diào)查的情況如下表所示：

參加調(diào)查的項(xiàng)數(shù)	0	1	2	3
所占比例	$\frac{1}{6}$	P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

（1）現(xiàn)從這60名學(xué)生中按照參加調(diào)查的項(xiàng)數(shù)分層抽取6名學(xué)生進(jìn)行了解情況，醫(yī)療部分決定在這已抽取的6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行體檢，記這2名學(xué)生中參加調(diào)查的項(xiàng)數(shù)為3的學(xué)生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）醫(yī)療部分對(duì)部分學(xué)生一周內(nèi)進(jìn)行體育鍛煉的時(shí)間x（單位：小時(shí)）和身體健康指標(biāo)y進(jìn)行了一定的統(tǒng)計(jì)分析，得到如下數(shù)據(jù)

一周內(nèi)進(jìn)行體育鍛煉的時(shí)間	4	6	8	10
身體健康指標(biāo)	3	5	6	8

由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為y=0.8x+a，若某學(xué)生一周內(nèi)進(jìn)行體育鍛煉的時(shí)間x=12，求該學(xué)生的身體健康指標(biāo)值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出P的值，計(jì)算ξ的可能值并求出對(duì)應(yīng)的頻率P（ξ），寫(xiě)出ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ；
（2）計(jì)算平均數(shù)$\overline{x}$、$\overline{y}$，代入線性回歸方程求出a的值，利用回歸方程估算身體健康指標(biāo)值．

解答 解：（1）根據(jù)頻率和為1，求出P=1-$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$；
從60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，檢查項(xiàng)數(shù)為3的學(xué)生有2人，
從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行體檢，檢查項(xiàng)數(shù)為3的學(xué)生人數(shù)ξ的值為0、1、2，
則P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$；
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×$\frac{2}{5}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$；
（2）由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$（4+6+8+10）=7，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$（3+5+6+8）=5.5，
代入線性回歸方程y=0.8x+a，
求得a=5.5-0.8×7=-0.1，
∴當(dāng)x=12時(shí)，身體健康指標(biāo)值為
y=0.8×12-0.1=9.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望值以及線性回歸方程的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．