Question

8．如圖，已知a、b、c分別是△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)，a=c，且滿足cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，點(diǎn)O是△ABC外一點(diǎn)，OA=2OB=4，則平面四邊形OACB面積的最大值是8+5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 依題意，設(shè)∠AOB=θ，可求得△ABC為等邊三角形，利用三角形的面積公式與余弦定理可求得S_OACB=8sin（θ-$\frac{π}{3}$）+5$\sqrt{3}$，（0＜θ＜π），從而可求得平面四邊形OACB面積的最大值．

解答 解：∵cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，
可得：cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=cos（A+B）cosAcosB-sinAsinB，
∴$\sqrt{3}$sinAcosB=sinAsinB，
又∵A為三角形內(nèi)角，sinA≠0，
∴可得：tanB=$\sqrt{3}$，
∴由B∈（0，π），可得：B=$\frac{π}{3}$，
又∵a=c，
∴△ABC為等邊三角形；
∴S_OACB=S_△AOB+S_△ABC
=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|sinθ+$\frac{1}{2}$×|AB|²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$×4×2×sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（|OA|²+|OB|²-2|OA|•|OB|cosθ）
=4sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4+16-2×2×4×cosθ）
=4sinθ-4$\sqrt{3}$cosθ+5$\sqrt{3}$
=8sin（θ-$\frac{π}{3}$）+5$\sqrt{3}$，
∵0＜θ＜π，
∴-$\frac{π}{3}$＜θ-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴當(dāng)θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{5π}{6}$時(shí)，sin（θ-$\frac{π}{3}$）取得最大值1，
∴平面四邊形OACB面積的最大值為8+5$\sqrt{3}$．
故答案為：8+5$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查余弦定理的應(yīng)用，求得S_OACB=8sin（θ-$\frac{π}{3}$）+5$\sqrt{3}$是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．