Question

7．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且經(jīng)過點(diǎn)（0，1）．圓C₁：x²+y²=a²+b²．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M，且l與圓C₁相交于A，B兩點(diǎn)，問$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}$=0是否成立？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓經(jīng)過的點(diǎn)求出b，利用離心率求解a，然后求解橢圓C的方程．
（2）解法1：求出圓C₁的圓心為原點(diǎn)O，利用直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M，聯(lián)立方程組，通過韋達(dá)定理結(jié)合直線的斜率關(guān)系判斷即可．
解法2：求出圓C₁的圓心，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程組成方程組，有且只有一組解，求出M，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)為N（x_N，y_N），通過若x_N=x_M，推出矛盾，得到結(jié)論．

解答 （本小題滿分14分）
（1）解：∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$過點(diǎn)（0，1），
∴b²=1．…（1分）
∵$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，{a^2}={b^2}+{c^2}$，…（2分）
∴a²=4． …（3分）
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（4分）
（2）解法1：由（1）知，圓C₁的方程為x²+y²=5，其圓心為原點(diǎn)O．…（5分）
∵直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M，
∴方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1\end{array}\right.$（*）  有且只有一組解．
由（*）得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．…（6分）
從而△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）=0，化簡得m²=1+4k²．①…（7分）
${x_M}=-\frac{8km}{{2（{1+4{k^2}}）}}=-\frac{4km}{{1+4{k^2}}}$，${y_M}=k{x_M}+m=-\frac{{4{k^2}m}}{{1+4{k^2}}}+m=\frac{m}{{1+4{k^2}}}$．…（9分）
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為$（{-\frac{4km}{{1+4{k^2}}}，\frac{m}{{1+4{k^2}}}}）$．…（10分）
由于k≠0，結(jié)合①式知m≠0，
∴k_OM×k=$\frac{{\frac{m}{{1+4{k^2}}}}}{{-\frac{4km}{{1+4{k^2}}}}}×k=-\frac{1}{4}≠-1$．…（11分）
∴OM與AB不垂直．…（12分）
∴點(diǎn)M不是線段AB的中點(diǎn)．…（13分）
∴$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}$=0不成立．…（14分）
解法2：由（1）知，圓C₁的方程為x²+y²=5，其圓心為原點(diǎn)O．…（5分）
∵直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M，
∴方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1\end{array}\right.$（*）  有且只有一組解．
由（*）得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．        …（6分）
從而△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）=0，化簡得m²=1+4k²．①…（7分）
${x_M}=-\frac{8km}{{2（{1+4{k^2}}）}}=-\frac{4km}{{1+4{k^2}}}$，…（8分）
由于k≠0，結(jié)合①式知m≠0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)為N（x_N，y_N），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x}^{2}+{y}^{2}=5\end{array}\right.$消去y，得（1+k²）x²+2kmx+m²-5=0．…（9分）
∴${x_N}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{km}{{1+{k^2}}}$．…（10分）
若x_N=x_M，得$-\frac{km}{{1+{k^2}}}=-\frac{4km}{{1+4{k^2}}}$，化簡得3=0，矛盾．…（11分）
∴點(diǎn)N與點(diǎn)M不重合．…（12分）
∴點(diǎn)M不是線段AB的中點(diǎn)．…（13分）
∴$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}$=0不成立．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．