3．已知$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左右焦點分別為F1、F2，過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線左支交于A、B兩點，若△ABF2為正三角形，則雙曲線的離心率為$\sqrt{3}$．

分析 利用直角三角形中含30°角所對的邊的性質(zhì)及其雙曲線的定義、勾股定理即可得到a，c的關(guān)系．

解答 解：由△ABF2是正三角形，則在Rt△AF1F2中，有∠AF2F1=30°，
∴AF2=2AF1，又|AF2|-|AF1|=2a．
∴AF2=4a，AF1=2a，又F1F2=2c，
又在Rt△AF1F2中，|AF1|2+|F1F2|2=|AF2|2，得到4a2+4c2=16a2，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=3．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 熟練掌握直角三角形中含30°角所對的邊的性質(zhì)及其雙曲線的定義、勾股定理、離心率的計算公式，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．

練習冊系列答案
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15．下列結(jié)論錯誤的是（　�。�
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12．在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，$sin（\frac{π}{3}-C）+cos（C-\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
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13．設(shè)f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{lnx}$．
（1）求證：f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是增函數(shù)；
（2）若在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)，不等式af（x）＞x恒成立，求a的取值范圍．

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