Question

9．已知sinα+cosα=$\sqrt{2}$，求下列各式的值：
（1）sinαcosα；
（2）sin³α+cos³α；
（3）sin⁴α+cos⁴α；
（4）sin⁴α-cos⁴α．

Answer 1

分析 （1）由sinα+cosα=$\sqrt{2}$兩邊同時(shí)平方可得1+2sinαcosα=2，從而可得sinαcosα=$\frac{1}{2}$；
（2）sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）結(jié)合sinαcosα=$\frac{1}{2}$，及sin²α+cos²α=1代入可求；
（3）sin⁴α+cos⁴α=（sin²α+cos²α）²-2（sinαcosα）²結(jié)合sinαcosα=$\frac{1}{2}$，及sin²α+cos²α=1代入可求；
（4）利用平方差公式結(jié)合sinαcosα=$\frac{1}{2}$，及sin²α+cos²α=1代入可求．

解答 解：（1）∵sinα+cosα=$\sqrt{2}$，
兩邊同時(shí)平方可得，1+2sinαcosα=2，
∴sinαcosα=$\frac{1}{2}$．
（2）sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）
=$\sqrt{2}$（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）sin⁴α+cos⁴α=（sin²α+cos²α）²-2（sinαcosα）²
=1-2×（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$．
（4）sin⁴α-cos⁴α=（sin²α+cos²α）（sin²α-cos²α）=sin²α-cos²α=（sinα+cosα）（sinα-cosα）=$\sqrt{2}$×$\sqrt{1-2sinαcosα}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角平方關(guān)系的應(yīng)用，解題中要注意一些常見(jiàn)式子的變形形式，屬于公式的基本應(yīng)用．