Question

6．（1）數(shù)列$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{11}$，$\frac{3}{7}$，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是a_n=$\frac{n+2}{3n+2}$．
（2）根據(jù)以下數(shù)列的前4項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．
①$\frac{1}{2×4}$，$\frac{1}{3×5}$，$\frac{1}{4×6}$，$\frac{1}{5×7}$，…；
②-3，7，-15，31，…；
③2，6，2，6，…．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{11}$，$\frac{3}{7}$，…，即數(shù)列$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{8}$，$\frac{5}{11}$，$\frac{6}{14}$，…，即可得出此數(shù)列一個(gè)通項(xiàng)公式．
（2）①$\frac{1}{2×4}$，$\frac{1}{3×5}$，$\frac{1}{4×6}$，$\frac{1}{5×7}$，…，可得a_n=$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$；
②-3，7，-15，31，…，取絕對值為數(shù)列{a_n}，a₁=3，可得a₂-a₁=4=2²，a₃-a₂=8=2³，a₄-a₃=16=2⁴，…，利用“累加求和”即可得出；
③2，6，2，6，…．可得a_n=4+（-1）ⁿ×2．

解答 解：（1）數(shù)列$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{11}$，$\frac{3}{7}$，…，即數(shù)列$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{8}$，$\frac{5}{11}$，$\frac{6}{14}$，…，可得此數(shù)列一個(gè)通項(xiàng)公式是：a_n=$\frac{n+2}{3n+2}$．
（2）根據(jù)以下數(shù)列的前4項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．
①$\frac{1}{2×4}$，$\frac{1}{3×5}$，$\frac{1}{4×6}$，$\frac{1}{5×7}$，…，a_n=$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$；
②-3，7，-15，31，…，取絕對值為數(shù)列{a_n}，a₁=3，∵a₂-a₁=4=2²，a₃-a₂=8=2³，a₄-a₃=16=2⁴，…，∴a_n=3+2²+2³+…+2ⁿ
=$\frac{{2}^{n+1}-1}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-1，可得此數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：b_n=（-1）ⁿ（2ⁿ⁺¹-1）．
③2，6，2，6，…．可得a_n=4+（-1）ⁿ×2．
故答案分別為：（1）a_n=$\frac{n+2}{3n+2}$．（2）①a_n=$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$；②b_n=（-1）ⁿ（2ⁿ⁺¹-1）；③a_n=4+（-1）ⁿ×2．

點(diǎn)評 本題考查了通過觀察分析歸納求數(shù)列的通項(xiàng)公式方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．