Question

9．已知A，B，C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，給出下列三組數(shù)據(jù)①sinA，sinB，sinC； ②sin²A，sin²B，sin²C；③cos²$\frac{A}{2}$，cos²$\frac{B}{2}$，cos²$\frac{C}{2}$；分別以每組數(shù)據(jù)作為三條線段的長(zhǎng)，其中一定能構(gòu)成三角形的數(shù)組的序號(hào)是（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理可判斷出①正確，根究正弦定理、舉特例判斷出②不正確，根據(jù)二倍角余弦公式的變形進(jìn)行化簡(jiǎn)，并利用作差法、和差化積公式化簡(jiǎn)后，由三角形內(nèi)角的方范圍判斷出三邊關(guān)系，可判斷出③正確．

解答 解：①由正弦定理得sinA：sinB：sinC=a：b：c，
所以sinA，sinB，sinC作為三條線段的長(zhǎng)一定能構(gòu)成三角形，①正確；
②由正弦定理得sin²A：sin²B：sin²C=a²：b²：c²，
例如：a=3、b=4、c=5，則a²=9、b²=16、c²=25，
則a²+b²=25=c²，sin²A，sin²B，sin²C作為三條線段的長(zhǎng)不能構(gòu)成三角形，②不正確；
③因?yàn)閏os²$\frac{A}{2}$=$\frac{1+cosA}{2}$，cos²$\frac{B}{2}$=$\frac{1+cosB}{2}$，cos²$\frac{C}{2}$=$\frac{1+cosC}{2}$，
所以（cos²$\frac{A}{2}$+cos²$\frac{B}{2}$）-cos²$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$（1+cosA+cosB-cosC）
因?yàn)閏osA+cosB=2cos$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$＞0，1-cosC＞0，
所以1+cosA+cosB-cosC＞0，
即cos²$\frac{A}{2}$，cos²$\frac{B}{2}$，cos²$\frac{C}{2}$作為三條線段的長(zhǎng)能構(gòu)成三角形，③正確，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理，二倍角余弦公式的變形的應(yīng)用，以及能構(gòu)成三角的條件，屬于中檔題．