Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-4|+|x-3|，f（x）的最小值為m．
（1）求m的值；
（2）當a+2b=m（a，b∈R），求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析 （1）運用絕對值不等式的性質(zhì)，可得）=|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|，即可得到m=1；
（2）方法一、運用柯西不等式（cd+ef）²≤（c²+e²）（d²+f²），即可得到最小值；
方法二、運用a²+b²的幾何意義為原點到點（a，b）的距離的平方，由點到直線的距離公式可得最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|=1，
當（x-4）（x-3）≤0，即有3≤x≤4時，f（x）取得最小值1，
即m=1；
（2）方法一、運用柯西不等式（cd+ef）²≤（c²+e²）（d²+f²），
當且僅當cf=ed，不等式取得等號．
即有1=（a+2b）²≤（a²+b²）（1+4），
即為a²+b²≥$\frac{1}{5}$，
故當b=2a=$\frac{1}{5}$時，a²+b²的最小值為$\frac{1}{5}$；
方法二、a²+b²的幾何意義為原點到點（a，b）的距離的平方，
由點到直線的距離公式可得最小值為d²=（$\frac{1}{\sqrt{1+4}}$）²=$\frac{1}{5}$，
即有a²+b²的最小值為$\frac{1}{5}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用絕對值不等式的性質(zhì)和柯西不等式和幾何意義，考查運算能力，屬于中檔題．