Question

4．已知函數(shù)f（x）=sin2x+2cos²x-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]上的最小值和此時x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，根據(jù)二倍角公式和輔助角公式，得到該函數(shù)的解析式f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），然后，確定其周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）和所給自變量的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行確定其最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+2cos²x-1．
=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）
∴該函數(shù)的周期為：T=$\frac{2π}{2}$=π．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴單調(diào)遞增區(qū)間：[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，（k∈Z）．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ），知
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∵$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{3π}{4}$，
∴$\frac{3π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{7π}{4}$，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$時，即x=$\frac{5π}{8}$時，該函數(shù)有最小值為-$\sqrt{2}$．

點評 本題重點考查了二倍角公式、輔助角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與最值等知識，屬于中檔題．