Question

3．點(diǎn)A（2，0）是圓x²+y²=4上的定點(diǎn)，點(diǎn)B（1，1）是圓內(nèi)一點(diǎn)，P為圓上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程
（2）求過點(diǎn)B傾斜角為135°的直線截圓所得的弦長．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出AP的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出P的坐標(biāo)，據(jù)P在圓上，將P坐標(biāo)代入圓方程，求出中點(diǎn)的軌跡方程．
（2）求出直線方程，圓心到直線的距離，利用勾股定理，求出過點(diǎn)B傾斜角為135°的直線截圓所得的弦長．

解答 解：（1）設(shè)AP中點(diǎn)為M（x，y），
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2x-2，2y）
∵P點(diǎn)在圓x²+y²=4上，∴（2x-2）²+（2y）²=4．
故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為（x-1）²+y²=1．
（2）過點(diǎn)B傾斜角為135°的直線方程為x+y-2=0，
圓心O（0，0）到直線x+y-2=0的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴過點(diǎn)B傾斜角為135°的直線截圓所得的弦長為2$\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式、圓心與弦中點(diǎn)的連線垂直弦、相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．