Question

15．已知2^x≤256，且log₂x≥$\frac{1}{2}$．
（1）求x的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）=log₂（$\frac{x}{2}$）•log₂（$\frac{x}{4}$）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）分別解不等式2^x≤256，log₂x≥$\frac{1}{2}$，從而求出x的范圍；（2）先整理出f（x）的表達式，結合二次函數(shù)的性質，求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）由2^x≤256，解得：x≤8，
由log₂x≥$\frac{1}{2}$，得：x≥$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$≤x≤8；
（2）由（1）$\sqrt{2}$≤x≤8得：$\frac{1}{2}$≤log₂x≤3，
f（x）=（${log}_{2}^{x}$-1）（${log}_{2}^{x}$-2）=${{（log}_{2}^{x}-\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，
當${log}_{2}^{x}$=$\frac{3}{2}$，∴x=${2}^{\frac{3}{2}}$時：f（x）_min=-$\frac{1}{4}$，
當${log}_{2}^{x}$=3，∴x=8時：f（x）_max=2．

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質，考查二次函數(shù)的性質，函數(shù)的單調性、最值問題，是一道中檔題．