Question

4．如圖，在正四棱錐S-ABCD中，底面邊長(zhǎng)為6cm，側(cè)棱長(zhǎng)為3$\sqrt{5}$cm．
（1）求正四棱錐S-ABCD的體積；
（2）求二面角S-BC-A的大�。�

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，過O作OE⊥BC，交BC于E，連結(jié)PO、SE，由勾股定理求出OE、SO，再求出S_{正方形ABCD}=6×6=36，由此能求出正四棱錐S-ABCD的體積．
（2）由SO⊥面ABCD，OE⊥BC，得∠SEO是二面角S-BC-A的平面角，由此能求出二面角S-BC-A的大�。�

解答 解：（1）連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，過O作OE⊥BC，交BC于E，連結(jié)PO、SE，
∵在正四棱錐S-ABCD中，底面邊長(zhǎng)為6cm，側(cè)棱長(zhǎng)為3$\sqrt{5}$cm，
∴OB=OC=$\frac{1}{2}\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，OE=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}-{3}^{2}}$=3，
SE=$\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}-{3}^{2}}$=6，$SO=\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
S_{正方形ABCD}=6×6=36，
∴正四棱錐S-ABCD的體積：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{正方形ABCD}×SO$=$\frac{1}{3}×36×3\sqrt{3}$=36$\sqrt{3}$（cm²）．
（2）∵SO⊥面ABCD，OE⊥BC，∴SE⊥BC，
∴∠SEO是二面角S-BC-A的平面角，
∵tan∠SEO=$\frac{SO}{OE}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，
∴∠SEO=60°，
∴二面角S-BC-A的平面角為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正四棱錐的體積和二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意勾股定理、三垂線定理的合理運(yùn)用．