Question

2．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜n（n≥2，n∈N^*）”的過程中，由“n=k”變到“n=k+1”時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)有（　�。�

• A． 1項(xiàng)
• B． 2^k-1項(xiàng)
• C． 2^k項(xiàng)
• D． 2^k+1項(xiàng)

Answer 1

分析 依題意，由n=k遞推到n=k+1時(shí)，不等式左邊=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$與n=k時(shí)不等式的左邊比較即可得到答案

解答 解：用數(shù)學(xué)歸納法證明1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜n的過程中，假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，左邊=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$，
∴由n=k遞推到n=k+1時(shí)不等式左邊增加了：$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$，共（2^k+1-1）-2^k+1=2^k項(xiàng)，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查觀察、推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．