Question

17．已知拋物線y²=4x的焦點為F，點M為直線x=-2上的一動點，過點M向拋物線y²=4x的作切線，切點為B，C，以點F為圓心的圓與直線BC相切，則該圓面積的取值范圍為（　　）

• A． （0，π）
• B． （0，π]
• C． （0，4π）
• D． （0，4π]

Answer 1

分析 由題意可知，當點M為（-2，0），此時圓的面積最大，設出切線方程，聯(lián)立方程組，根據(jù)△=0，求出k²=$\frac{1}{2}$，再求出x的值，問題得以解決．

解答 解：由題意可知，當點M為（-2，0），此時圓的面積最大，
設過點（-2，0）的拋物線的切線方程為y=k（x+2），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x+2）}\end{array}\right.$得到k²（x+2）²=4x，即k²x²+4（k²-1）x+4k²=0
∴△=16（k²-1）²-14k⁴=0，
解得k²=$\frac{1}{2}$，
把k²=$\frac{1}{2}$代入k²（x+2）²=4x得到（x-2）²=0，解得x=2，
則F到直線BC距離為2-1=1，即圓的半徑為1．此時面積為π，
則該圓的面積的取值范圍為（0，π]．
故選：B．

點評 本題考查了直線和拋物線的位置關系，以及點到直線的距離，關鍵是判斷出當點M為（-2，0），此時圓的面積最大，屬于中檔題．