Question

16．函數(shù)y=cosxsin2x的最小值為（　�。�

• A． -1
• B． -$\frac{4\sqrt{3}}{9}$
• C． -2
• D． -$\frac{2\sqrt{3}}{9}$

Answer 1

分析 由三角函數(shù)公式化簡可得y=-2sin³x+2sinx，令sinx=t，則t∈[-1，1]，導(dǎo)數(shù)法y=-2t³+2t在[-1，1]的最小值可得．

解答 解：由三角函數(shù)公式化簡可得y=cosxsin2x
=cosx•2sinxcosx=2sinxcos²x
=2sinx（1-sin²x）
=-2sin³x+2sinx，
令sinx=t，則t∈[-1，1]，
對y=-2t³+2t求導(dǎo)數(shù)可得y′=-6t²+2，
令y′=-6t²+2≥0可得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤t≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴y=-2t³+2t在[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]單調(diào)遞減，
在[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]單調(diào)遞增，在[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，y=-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$
當(dāng)t=1時，y=0＞-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，
∴原函數(shù)的最小值為-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及導(dǎo)數(shù)法求三次函數(shù)在閉區(qū)間的最值，屬中檔題．