Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）lnx，g（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$．已知曲線y=f（x） 在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+2y-1=0垂直．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示，p，q中的較小值），求函數(shù)m（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，解方程可得a=1；
（Ⅱ）運(yùn)用分段函數(shù)的形式寫出m（x）的解析式，分別討論各段的單調(diào)性和最值，即可得到所求最大值．

解答 解：（I）由題意知，切線與直線x+2y-1=0垂直，
則曲線f（x）=（x+a）lnx在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為2，
所以f′（1）=2，
又f′（x）=lnx+$\frac{a}{x}$+1，即有a+1=2，
所以a=1；
（II）設(shè)h（x）-f（x）=（x+1）lnx-$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，h（x）＜0．
又h（2）=3ln2-$\frac{4}{{e}^{2}}$=ln8-$\frac{4}{{e}^{2}}$＞1-1=0，
所以存在x0∈（1，2），使h（x0）=0．
因?yàn)閔′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1+$\frac{x（x-2）}{{e}^{x}}$，
所以當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，h′（x）＞1-$\frac{1}{e}$＞0，
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，
所以當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）單調(diào)遞增．
所以k=1時(shí)，方程f（x）=g（x）在（k，k+1）內(nèi)存在唯一的根x₀．
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，f（x）＜g（x），x∈（x₀，+∞）時(shí)，f（x）＞g（x），
所以m（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+1）lnx，x∈（0，{x}_{0}）}\\{\frac{{x}^{2}}{{e}^{2}}，x∈（{x}_{0}，+∞）}\end{array}\right.$．
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，若x∈（0，1]，m（x）≤0，
若x∈（1，x₀），由m′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1＞0，可知0＜m（x）≤m（x₀），故m（x））≤m（x₀），
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，由m′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$，
可得x∈（x₀，2）時(shí)，m′（x）＞0，m（x）單調(diào)遞增；
x∈（2，+∞）時(shí)，m′（x）＜0，m（x）單調(diào)遞減；
可知m（x）≤m（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，且m（x₀）＜m（2）．
綜上可得函數(shù)m（x）的最大值為$\frac{4}{{e}^{2}}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．