Question

7．已知f（x）=x|x-a|-2，當(dāng)x∈（0，2]時(shí)恒有f（x）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是1＜a＜3．

Answer 1

分析 整理不等式得x-$\frac{2}{x}$＜a＜x+$\frac{2}{x}$恒成立，構(gòu)造函數(shù)令h（x）=x-$\frac{2}{x}$，g（x）=x+$\frac{2}{x}$，x∈（0，2]，把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)換為最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出函數(shù)最值，得出a的范圍．

解答 解：∵f（x）＜0，
∴x|x-a|＜2，
∴x-$\frac{2}{x}$＜a＜x+$\frac{2}{x}$恒成立，
令h（x）=x-$\frac{2}{x}$，g（x）=x+$\frac{2}{x}$，x∈（0，2]，
∵h(yuǎn)'（x）=1+$\frac{4}{{x}^{2}}$＞0，h（x）遞增，
∴h（x）≥h（2）=1，
g'（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$＜0，g（x）遞減，
g（x）≤g（2）=3，
∴a的取值范圍是1＜a＜3．

點(diǎn)評(píng) 考查了絕對(duì)值不等，恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)換為最值問(wèn)題，難點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的最值．