Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bx-3，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)b，f（x）在區(qū)間[b-2，b+2]上有最大值M（b）和最小值m（b），記g（b）=M（b）-m（b）．
（1）當(dāng)b＞2時(shí)，求g（b）的解析式；
（2）求g（b）的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的對(duì)稱軸，得到區(qū)間[b-2，b+2]在對(duì)稱軸的右邊，從而求出函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，進(jìn)而求出最大值，最小值，得到g（b）的表達(dá)式；
（2）通過(guò)討論b的范圍，得到函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最值，從而求出g（b）的表達(dá)式，進(jìn)而求出g（b）的最小值．

解答 解：（1）當(dāng)b＞2時(shí)，對(duì)稱軸x=-$\frac{2}$＜-1，b-2＞0，
∴f（x）在區(qū)間[b-2，b+2]上遞增，
此時(shí)M（b）=f（b+2）=2b²+6b+1，m（b）=f（b-2）=2b²-6b+1，
∴g（b）=M（b）-m（b）=12b；
（2）f（x）=${（x+\frac{2}）}^{2}$-3-$\frac{^{2}}{4}$，拋物線開(kāi)口向上，其對(duì)稱軸方程為x=-$\frac{2}$，
下面就對(duì)稱軸與區(qū)間[b-2，b+2]端點(diǎn)的相對(duì)位置分段討論：
①當(dāng)0≤b≤$\frac{4}{3}$時(shí)，b-2≤-$\frac{2}$≤b+2且（b+2）-（-$\frac{2}$）≥-$\frac{2}$-（b-2），
此時(shí)M（b）=f（b+2）=2b²+6b+1，m（b）=-3-$\frac{^{2}}{4}$，
g（b）=$\frac{9}{4}$b²+6b+4；
②當(dāng)-$\frac{4}{3}$≤b＜0時(shí)，b-2≤-$\frac{2}$≤b+2且（b+2）-（-$\frac{2}$）≤-$\frac{2}$-（b-2），
此時(shí)M（b）=f（b-2）=2b²-6b+1，$m（b）=-3-\frac{b^2}{4}$，
$g（b）=\frac{9}{4}{b^2}-6b+4$；
③當(dāng)b＞$\frac{4}{3}$時(shí)，-$\frac{2}$＜b-2，f（x）在區(qū)間[b-2，b+2]上遞增，
此時(shí)M（b）=f（b+2）=2b²+6b+1，m（b）=f（b-2）=2b²-6b+1，
g（b）=12b；
④當(dāng)b＜-$\frac{4}{3}$時(shí)，-$\frac{2}$＞b+2，f（x）在區(qū)間[b-2，b+2]上遞減，
此時(shí)M（b）=f（b-2）=2b²-6b+1，m（b）=f（b+2）=2b²+6b+1，
g（b）=-12b；
綜上所得：g（b）=$\left\{\begin{array}{l}{-12b，b＜-\frac{4}{3}}\\{{\frac{9}{4}b}^{2}-6b+4，-\frac{4}{3}≤b＜0}\\{{\frac{9}{4}b}^{2}+6b+4，0≤b≤\frac{4}{3}}\\{12b，b＞\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
當(dāng)b＜-$\frac{4}{3}$時(shí)，g（b）=-12b＞g（-$\frac{4}{3}$）=16，
當(dāng)-$\frac{4}{3}$≤b＜0時(shí)，g（b）=$\frac{9}{4}$b²-6b+4遞減，g（b）＞g（0）=4，
當(dāng)0≤b≤$\frac{4}{3}$時(shí)，g（b）=$\frac{9}{4}$b²+6b+4遞增，g（b）≥g（0）=4，
當(dāng)b＞$\frac{4}{3}$時(shí)，g（b）=12b＞g（$\frac{4}{3}$）=16，
綜上，當(dāng)b=0時(shí)，[g（b）]_min=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想，（2）討論時(shí)較復(fù)雜，求出g（b）的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，本題有一定的難度．