Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\frac{lnx+1}{x}$，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并判斷是否有極值；
（Ⅱ）若對任意的x＞1，恒有l(wèi)n（x-1）+k+1≤kx成立，求k的取值范圍；
（Ⅲ）證明：$\frac{ln2}{2^2}+\frac{ln3}{3^2}+…+\frac{lnn}{n^2}＜\frac{{2{n^2}-n-1}}{4（n+1）}$（n∈N₊，n≥2）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$f（x）=\frac{lnx+1}{x}$，（x＞0），$f'（x）=\frac{-lnx}{x^2}$，分別解出f'（x）＞0，f'（x）＜0，即可得出單調(diào)區(qū)間、極值；
（II）方法1：由ln（x-1）+k+1≤kx，分離參數(shù)可得：k≥f（x-1）_max對任意的x＞1恒成立，由（I）即可得出．
方法2：記g（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1，$g'（x）=\frac{1}{x-1}-k，（x＞1）$，對k分類討論研究其單調(diào)性即可得出；
（Ⅲ）$f（x）=\frac{1+lnx}{x}$，由（Ⅰ）知：$\frac{1+lnx}{x}≤1⇒\frac{lnx}{x}≤1-\frac{1}{x}$（當且僅當x=1取等號）．令x=n²（n∈N^*，n≥2），即$\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜1-\frac{1}{n^2}$，再利用“累加求和”、“裂項求和”即可得出．

解答 （Ⅰ）解：$f（x）=\frac{lnx+1}{x}$，（x＞0），$f'（x）=\frac{-lnx}{x^2}$，
即x∈（0，1），f'（x）＞0，當x∈（1，+∞），f'（x）＜0，
∴f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
在x=1處取得極大值，極大值為f（1）=1，無極小值．
（Ⅱ）解：方法1：∵ln（x-1）+k+1≤kx，$⇒ln（x-1）+1≤k（x-1）⇒\frac{ln（x-1）+1}{x-1}≤k$，
k≥f（x-1）_max對任意的x＞1恒成立，由（1）知f（x）_max=f（1）=1，
則有f（x-1）_max=1，∴k≥1．
方法2：記g（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1，
$g'（x）=\frac{1}{x-1}-k，（x＞1）$，
當k≤0時，g'（x）≥0；
當k＞0時，由g'（x）＞0得$x＜1+\frac{1}{k}$，
即當k≤0時，g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)；
當k＞0時，$g（x）在（1，1+\frac{1}{k}）$上為增函數(shù)；在$（1+\frac{1}{k}，+∞）$上為減函數(shù)．
∵對任意的x＞1，恒有l(wèi)n（x-1）+k+1≤kx成立，
即要求g（x）≤0恒成立，
∴k＞0符合，且$g{（x）_{max}}=g（1+\frac{1}{k}）=-lnk≤0$，得k≥1．
（Ⅲ）證明：$f（x）=\frac{1+lnx}{x}$，由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{1+lnx}{x}≤f{（x）_{max}}=f（1）=1$，
則$\frac{1+lnx}{x}≤1⇒\frac{lnx}{x}≤1-\frac{1}{x}$（當且僅當x=1取等號）．
令x=n²（n∈N^*，n≥2），即$\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜1-\frac{1}{n^2}$，則有
$\begin{array}{l}\frac{{ln{2^2}}}{2^2}+\frac{{ln{3^2}}}{3^2}+…+\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜（1-\frac{1}{2^2}）+（1-\frac{1}{3^2}）+…（1-\frac{1}{n^2}）=（n-1）-（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…\frac{1}{n^2}）\\＜（n-1）-（\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…\frac{1}{n×（n+1）}）=（n-1）-（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=n-\frac{3}{2}+\frac{1}{n+1}\end{array}$
∴$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}+\frac{{ln{3^2}}}{3^2}+…+\frac{{ln{n^2}}}{n^2}=2（\frac{ln2}{2^2}+\frac{ln3}{3^2}+…+\frac{lnn}{n^2}）＜n-\frac{3}{2}+\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{ln2}{2^2}+\frac{ln3}{3^2}+…+\frac{lnn}{n^2}＜\frac{1}{2}（n-\frac{3}{2}+\frac{1}{n+1}）=\frac{{2{n^2}-n-1}}{4（n+1）}$．

點評 本題考查了利用當時研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法、分離參數(shù)方法、分類討論方法，考查了利用研究證明的結(jié)論證明不等式，考查了“累加求和”、“裂項求和”、“放縮法”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．