Question

1．已知拋物線y²=4x的準(zhǔn)線與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點O為坐標(biāo)原點若雙曲線的離心率為2，則三角形AOB的面積為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程可得A，B兩點的縱坐標(biāo)分別y=$\frac{a}$和y=-$\frac{a}$，由雙曲線的離心率為2，可得c=2a，再由a，b，c的關(guān)系，可得b=$\sqrt{3}$a，運用三角形的面積公式，即可求出△AOB的面積．

解答 解：∵雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
∴雙曲線的漸近線方程是y=±$\frac{a}$x，
又∵拋物線y²=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1，
雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線
與拋物線y²=4x的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點，
∴A，B兩點的縱坐標(biāo)分別是y=$\frac{a}$和y=-$\frac{a}$，
∵△AOB的面積為$\frac{1}{2}$×1×$\frac{2b}{a}$=$\frac{a}$，
由于雙曲線的離心率為2，即c=2a，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
則△AOB的面積為$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查漸近線方程的運用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題．