Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)，PA=PD=$\sqrt{2}$，AD=PB=2．
（ I）求證：QB⊥PD；
（Ⅱ）點(diǎn)M在線段PC上，且QM⊥PC，求M-QB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （I）連接PQ，BD，利用菱形與等邊三角形的性質(zhì)可得；BQ⊥AD．在△PAD中，PA=PD=$\sqrt{2}$，Q為AD的中點(diǎn)，AD=2，可得PQ=1．
由PQ²+BQ²=PB²，可得BQ⊥PQ．利用線面垂直的判定定理可得BQ⊥平面PAD，即可證明．
（II）如圖，以點(diǎn)Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．A（1，0，0），B$（0，\sqrt{3}，0）$，$C（-2，\sqrt{3}，0）$，Q（0，0，0），P（0，0，1），點(diǎn)M在PC上，設(shè)$\overrightarrow{PM}=t\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PC}$=$（-2，\sqrt{3}，-1）$.$\overrightarrow{QM}$=$\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PM}$=$（-2t，\sqrt{3}t，1-t）$，利用$\overrightarrow{QM}⊥\overrightarrow{PC}$，可得$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{PC}$=0，解得t．平面MQB的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QM}=0}\end{array}\right.$，解得$\overrightarrow{m}$，取底面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （I）證明：連接PQ，BD，∵△ABD是正三角形，Q為AD的中點(diǎn)，
∴BQ⊥AD．
∴BQ=$\sqrt{3}$．
在△PAD中，PA=PD=$\sqrt{2}$，Q為AD的中點(diǎn)，AD=2，
∴PQ=$\sqrt{P{A}^{2}-A{Q}^{2}}$=1．
∴PQ²+BQ²=PB²，
∴BQ⊥PQ．又PQ∩AD=Q，
∴BQ⊥平面PAD，
∴QB⊥PD．
（II）解：如圖，以點(diǎn)Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
A（1，0，0），B$（0，\sqrt{3}，0）$，$C（-2，\sqrt{3}，0）$，Q（0，0，0），P（0，0，1），
點(diǎn)M在PC上，設(shè)$\overrightarrow{PM}=t\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PC}$=$（-2，\sqrt{3}，-1）$．
∴$\overrightarrow{PM}$=$（-2t，\sqrt{3}t，-t）$.$\overrightarrow{QM}$=$\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PM}$=$（-2t，\sqrt{3}t，1-t）$，
∵$\overrightarrow{QM}⊥\overrightarrow{PC}$，
∴$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{PC}$=0，
∴4t+3t-（1-t）=0，解得t=$\frac{1}{8}$，
∴$\overrightarrow{QM}=（-\frac{1}{4}，\frac{\sqrt{3}}{8}，\frac{7}{8}）$，$\overrightarrow{QB}$=$（0，\sqrt{3}，0）$，
設(shè)平面MQB的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QM}=0}\end{array}\right.$，化為$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{-2x+\sqrt{3}y+7z=0}\end{array}\right.$，
令z=2，解得x=7，y=0，∴$\overrightarrow{m}$=（7，0，2），
取底面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{1×\sqrt{53}}$=$\frac{2\sqrt{53}}{53}$．
∴二面角M-QB-C的余弦值為$\frac{2\sqrt{53}}{53}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、菱形與等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、向量的線性運(yùn)算、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系利用平面的法向量的夾角得出二面角的方法，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．