Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且當x∈[0，1]時，f（x）=x³，則方程f（x-1）=cosπx（-2≤x≤4）所有實根的和為（　�。�

• A． 12
• B． 10
• C． 8
• D． 6

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和周期性，利用函數(shù)和方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)的對稱性即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（-x）=f（x），∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）=f（2-x）=f（x-2），
即函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
則f（x）的簡圖如圖（虛線），
將函數(shù)f（x）向右平移1個單位，得到函數(shù)f（x-1）的圖象（紅線），則函數(shù)f（x-1）關(guān)于x=1對稱，
∵y=cosπx的圖象也關(guān)于x=1對稱，
∴由圖象可知函數(shù)y=f（x-1）和y=cosπx，x∈[-2，4]共有10個交點，它們彼此關(guān)于x=1對稱，
設(shè)對稱的兩個實根為a，b，
則a+b=2，
故所有的實根之和為5×2=10，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．