Question

4．在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，A是C上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足|AF|的最小值為2-$\sqrt{3}$，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在橢圓C上任取一點(diǎn)B，使OA⊥OB，求證：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．

Answer 1

分析 （1）利用|AF|的最小值為2-$\sqrt{3}$，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出a，c，b，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分類討論：①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性，可求原點(diǎn)O到直線的距離；②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到結(jié)論

解答 （1）解：∵|AF|的最小值為2-$\sqrt{3}$，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴a-c=2-$\sqrt{3}$，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴$a=2，c=\sqrt{3}$，
∴b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁²-y₁²=0
∵x₁²+4y₁²=4，∴|x₁|=|y₁|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
∴原點(diǎn)O到直線的距離為d=|x₁|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消元可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴（1+k²）$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$-km×$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$+m²=0
∴5m²=4（k²+1）
∴原點(diǎn)O到直線的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
綜上，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓與橢圓的綜合，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．