Question

7．已知空間四個(gè)點(diǎn)A（1，1，1），B（-4，0，2），C（-3，-1，0），D（-1，0，4），則直線AD與平面ABC所成的角為30°．

Answer 1

分析 由已知求出$\overrightarrow{AD}$和平面ABC的法向量，利用向量法能求出直線AD與平面ABC所成的角的大�。�

解答 解：∵空間四個(gè)點(diǎn)A（1，1，1），B（-4，0，2），C（-3，-1，0），D（-1，0，4），
∴$\overrightarrow{AD}$=（-2，-1，3），$\overrightarrow{AB}$=（-5，-1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-4，-2，-1），
設(shè)平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-5x-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-4x-2y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-3，2），
設(shè)直線AD與平面ABC所成的角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2+3+6|}{\sqrt{4+1+9}•\sqrt{1+9+4}}$=$\frac{7}{14}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=30°．
∴直線AD與平面ABC所成的角為30°．
故答案為：30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．