Question

8．已知函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，其中a∈R，b∈R，如果對任意x∈R，都有f（x）≠2，那么在不等式①-4＜a+b＜4；②-4＜a-b＜4；③a²+b²＜2；④a²+b²＜4中，一定成立的不等式的序號是（　�。�

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ④

Answer 1

分析 需要分類討論，當a=0時，和當a≠0時，函數(shù)f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+θ），其中tanθ=$\frac{a}$，然后比較計算即可．

解答 解：當a=0時，f（x）=bcosx，
∵x∈R，都有f（x）≠2，
∴|b|＜2，
∴-2＜a+b＜2，-2＜a-b＜2，a²+b²＜4，
當a≠0時，函數(shù)f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+θ），其中tanθ=$\frac{a}$，
∵x∈R，都有f（x）≠2，
∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$＜2，即a²+b²＜4，
綜上所示，只有④一定成立，
故選：D．

點評 本題考查了三角函數(shù)輔助角問題，關鍵是構造輔助角，屬于基礎題．