Question

20．定義R在上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足f（3）=log₂3，且對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
（1）求f（0）；                
（2）求證：f（x）為奇函數(shù)；
（3）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x）＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，列方程解出f（0）；
（2）令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，得到結(jié)論；
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x）=f（9^x-3^x），于是k•3^x＜-3^x+9^x，分離參數(shù)得k＜-1+3^x，于是k小于-1+3^x的最小值．

解答 解：（1）令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．
（2）證明：令y=-x，則有f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=0；
∴f（x）=-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)．
（3）∵函數(shù)f（x）在R在上的單調(diào)函數(shù)，f（0）=0，f（3）=log₂3＞0，
∴函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)．
∵f（k•3^x）+f（3^x-9^x）＜0，∴f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x）=f（9^x-3^x），
∴k•3^x＜-3^x+9^x，k＜-1+3^x
∵-1+3^x＞-1，∴k≤-1．
∴實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-1]．

點評 本題考查了抽象函數(shù)求值，函數(shù)奇偶性的證明，單調(diào)性的應(yīng)用，合理選擇x，y的值是證明關(guān)鍵，屬于中檔題．