Question

12．已知c＞0，設(shè)命題p：y=c^x為減函數(shù)，命題q：函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{c}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 由y=c^x為減函數(shù)求出滿足p真的c的范圍；再由f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{c}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立求出c的范圍，把p∨q為真命題，p∧q為假命題轉(zhuǎn)化為命題p與q一真一假，然后分類求解c的范圍，取并集得答案．

解答 解：∵命題p：y=c^x為減函數(shù)，∴0＜c＜1；
函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$≥$2\sqrt{x•\frac{1}{x}}=2$，當且僅當x=1時取“=”，
∴f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{c}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，即2$＞\frac{1}{c}$恒成立，即c$＞\frac{1}{2}$．
若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則命題p與q一真一假，
當p真q假時，0$＜c≤\frac{1}{2}$；
當p假q真時，c≥1．
∴c的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）．

點評 本題考查復合命題的真假判斷，考查了函數(shù)恒成立問題的求解方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．