Question

已知f（x）=3x²-2x+3，g（x）=a•e^x，若存在x∈（0，2]，使g（x）=f（x），求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：存在x∈（0，2]，使g（x）=f（x）?存在x∈（0，2]，3x²-2x+3=a•e^x，變形為a=

3x2-2x+3

ex

=h（x），x∈（0，2]，利用導(dǎo)數(shù)與其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：存在x∈（0，2]，使g（x）=f（x）?存在x∈（0，2]，3x²-2x+3=a•e^x，
變形為a=

3x2-2x+3

ex

=h（x），x∈（0，2]，
h′（x）=

-(3x-5)(x-1)

ex

，
令h′（x）=0，解得x=1或

5

3

．
列表如下：

x	（0，1）	1	(1， 5 3 )	5 3	( 5 3 ，2]
h′（x）	-	0	+	0	-
h（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

由表格可知：
當x=1時，h（x）取得極小值，h（1）=

4

e

，又h（2）=

11

e2

，h（1）＜h（2），∴當x=1時，函數(shù)h（x）取得最小值

4

e

．當x=

5

3

時，h（x）取得極大值，h（

5

3

）=

8

3 e5

，又h（0）=3，h（

5

3

）＜h（0），∴函數(shù)h（x）＜3．
綜上可得：函數(shù)h（x）的取值范圍是：[

4

e

，3)．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了存在性問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．